使用拉普拉斯變換分析混合品質的故障分析
在 amixon® AMK 1000 混合機中對連續混合過程應用拉普拉斯變換的示例：粉末 A 以 1,000 kg/h 的恆定速度流入混合機。粉末 B 以 10 kg/h 的速度同時計量。混合室在開始時保持關閉狀態。攪拌工具已經開始運轉，經過 20 轉後達到理想的攪拌品質。其轉速為 20 轉/分鐘。
當攪拌機內存有 700 公斤產品時，排放閥門即會開啟。排放量設定為每小時 1,010 公斤，以確保輸入量與排放量相等。此過程運行穩定。
突然發生故障：成分 B 的供應完全停止了 20 秒鐘。之後，計量器進行了修正，B 以雙倍流量（20 公斤/小時）持續流動了 20 秒鐘。隨後，流量再次穩定在 10 公斤/小時。
在故障發生之前，混合品質在技術上處於理想狀態。混合品質的變異係數為 3%。
流程數字（初始情況）
進料 A：ṁ_A = 1000 kg/h；進料 B（標稱）：ṁ_B = 10 kg/h；總進料：ṁ_ein = 1010 kg/h。混合器中的粉末質量恆定：M = 700 kg。
平均停留時間 τ（時間常數）：
t = M / ṁ_aus = 700 / 1010h = 0.693h = 41.6 分= 2495 秒
B 在進料口（以及出口處穩定狀態）的名義質量份數：
x_B,in,0 = 10 / 1010 = 0.00990099 (≈ 0.9901 %)
拉普拉斯解
PT1 的拉普拉斯變換：
Y(s) = (1 / (τ s + 1)) · U(s)
τ（Tau）：系統的時間常數（此處：在混合器中的平均停留時間）
s：拉普拉斯變量，用於衡量信號在時間上的變化
「τ · s」是時間常數和變化率的無量綱組合。
輸入 u(t) 為兩個矩形跳變之間的差值；使用海維賽德移位可得：
U(s) = x_B,in,0 · (-1 + 2 e^{-20 s} - e^{-40 s}) / s
時域解（階躍響應疊加，Heaviside H(·)）：
y(t)=x_B,in,0[ - (1 - e^{-t/τ}) H(t) + 2 (1 - e^{-(t-20)/τ}) H(t-20) - (1 - e^{-(t-40)/τ}) H(t-40) ]
數值與最大偏差
當 τ = 2495 s 且 x_B,in,0 = 0.00990099 時，結果如下：
e^{-20/τ} = e^{-20/2495} ≈ 0.99202; 1 - e^{-20/τ} ≈ 0.00798
封鎖結束時最大的負偏差（t = 20 秒）：
y(20) = - x_B,in,0 (1 - e^{-20/τ}) ≈ -7,9·10^{-5} (≈ -0,0079 % 絕對值)
過量結束（t = 40 秒）：
y(40) ≈ +6.3·10^{-7} （實際上為標稱值）
對於 t > 40 s，微小的殘餘偏差會以指數函數的形式衰減：
y(t) = y(40) · e⁻^(t-40)/τ
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